ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય,તો $\int_{0}^{4} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\begin{cases} [x], & x \leq 2 \\ 0, & x>2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $I=\int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ હોય,તો $(4I-1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો,સંકલન $\int\limits_{0}^{1}\left[-8 x^{2}+6 x-1\right] d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

વિધાન $(A)$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$ એ અંતરાલ $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$ માં આવેલું છે.
કારણ $(R)$: $\sin^6 x + \cos^6 x$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.

$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n, r \in N$)